PREDMET 
Poslovna matematika

LEKCIJA 19


5. EKONOMSKE FUNKCIJE

5.1. Funkcija tražnje

            Tražnja nekog proizvoda na tržištu zavisi od niza faktora: od cene tog proizvoda, cene ostalih proizvoda na tržištu, od standarda potrošača, od navike potrošača za kupovinu tog proizvoda, od ukusa potošača itd. Naravno, nemoguće je obuvatiti sve faktore koji utiču na potražnju nekog proizvoda na tržištu. Istovremeno analiza funkcije tražnje je kvalitetnija ukoliko se ona sprovodi na većem broju parametara koji utiču na nju. Očigledno je da se takva  analiza mora vršiti po pravilima analize funkcija više promenljivih.

            Mi ćemo naše matematičko ispitivanje tražnje svesti na nivo funkcije jedne promenljive, i to na analizu funkcije tražnje nekog proizvoda od njegove cene.

            U tom smislu obeležimo tražnju nekog proizvoda sa x, a cenu tog proizvoda sa p. Veza između tražnje proizvoda na tržištu i njegove cene je data u vidu neke funkcionalne zavisnostu:

x=f1(p).

            Oblast definisanosti ove funkcije se određuje iz uslova:

            1.         p>0    (cena je naravno uvek pozitivna)

            2.         x>0    (potražnja za nekim proizvodom mora biti pozitivna)

            3.         x’=f1’(p)<0   (porast cene nekog proizvoda smanjuje njegovu potražnju)

5.2. Funkcija ponude

            Ponuda jednog proizvoda predstavlja količinu tog proizvoda iznetog na tržište po određenoj ceni. Ponuda jednog proizvoda, takođe zavisi od mnoštva faktora poput troškova proizvodnje, tehnoloških i vremenskih uslova, cene proizvoda itd..

            Mi ćemo ponudu posmatrati u zavisnosti od jednog parametra, cene proizvoda.

            Obeležimo količinu proizvoda koji se nudi sa  y a ,cenu sa p, a zavisnost ponude od potražnje sa

y=f2(p).

            Oblast definisanosti ove funkcije se određuje iz uslova:

 1.         p>0     (cena je naravno uvek pozitivna)

           2.         y>0     (ponuda nekog  proizvoda mora biti pozitivna)

           3.         y’=f2’(p)>0    (porast cene nekog proizvoda stimuliše proizvođača da ga što više nudi tržištu).

Ako su funkcije ponude i tražnje jednog proizvoda određene, onda se može odrediti ravnoteža na tržištu iz uslova  y=x,  odnosno  f1(p)=f2(p).

Primer 5.2.1. Odrediti cenu pri kojoj se postiže ravnoteža tražnje i ponude ako je funkcija tražnje 

x=(p-3)2

a funkcija ponude

y=2p-3.

Rešenje: Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova

            a oblast definisanosti funkcije ponude iz uslova

Cena pri kojoj nastupa ravnoteža na tržištu mora biti iz skupa vrednosti za koje je definisana i tražnja i ponuda na tržištu, odnosno iz skupa

  .

Izjednačavajući funkcije tražnje i ponude dobijamo:

  .

Rešenje p2=6 ne pripada intervalu

 ,

pa ga odbacujemo, dok rešenje 

 

pa se, dakle ravnoteža na tržištu postiže za vrednost cene p=2.

5.3. Funkcija ukupnih troškova, prosečnih troškova i graničnih troškova

Funkcija ukupnih troškova predstavlja funkcionalnu zavisnost troškova (obeležimo ih sa C) od obima proizvodnje (obeležimo ga sa x), tj

C=f3(x)

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova se određuje iz uslova:

            1.         x>0   (obim proizvodnje je naravno uvek pozitivan)

            2.         C>0   (ukupni troškovi proizvodnje su naravno pozitivni)

            3.         C’=f3’(x)>0      (porast proizvodnje povećava ukupne troškove proizvodnje)

Funkcija prosečnih troškova predstavlja količnik ukupnih troškova i ukupne proizvodnje. Prosečni troškovi se i označavaju sa C, tj.

  .

Oblast definisanosti funkcije prosečnih troškova je određena oblašću definisanosti funkcije ukupnih troškova C.

Funkcija graničnih troškova je prvi izvod funkcije ukupnih troškova, odnosno C’. Iz definicije prvog izvoda znamo da važi sledeće:

  .

Veza između prosečnih i graničnih troškova data je u vidu sledeće teoreme:

Teorema 5.3.1.  Ako prosečni troškovi rastu sa porastom proizvodnje, tada su granični troškovi veći od prosečnih troškova, a ako prosečni troškovi opadaju s porastom proizvodnje, tada su granični troškovi manji od prosečnih troškova.

Dokaz:

            a)         Prosečni troškovi rastu sa porastom proizvodnje Þ

 

odnosno granični troškovi su veći od prosečnih troškova

            b)         Prosečni troškovi opadaju sa porastom proizvodnje Þ

 

odnosno granični troškovi su manji od prosečnih troškova.

Kraj dokaza.

Primer 5.3.1. Data je funkcija ukupnih troškova C=5x2+320, gde su C ukupni troškovi, a x proizvodnja. Pokazati da su minimalni prosečni troškovi jednaki graničnim troškovima.

Rešenje: Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova određujemo iz uslova:

   

            Pronađimo obim proizvodnje x, za koji su prosečni troškovi minimalni, odnosno nađimo vrednost  x  u kojoj funkcija

 

ima minimum,  naravno metodama analize funkcije jedne promenljive.

Stacionarne tačke funkcije  

dobijamo iz uslova 

  .

           

Iz uslova oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova odbacujemo stacionarnu tačku x2=-8.

Odredimo da li je stacionarna tačka x=8  tačka ekstremuma, i ispitajmo prirodu tog ekstremuma pomoću znaka drugog izvoda u njoj.

 

pa prosečni troškovi u tački x=8 imaju minimum koji iznosi  

Granični troškovi u tački x=8 iznose  

  .

Dakle, granični troškovi u tački u kojoj funkcija prosečnih troškova ima minimum su jednaki tim minimalnim prosečnim troškovima.

5.4. Funkcija ukupnog prihoda i graničnog prihoda

Funkcija ukupnog prihoda (obeležimo je sa P) predstavlja proizvod količine proizvoda prodatog na tržištu , i cene po kojoj je jedinica proizvoda prodata na tržištu. Količina proizvoda prodatog na tržištu je u stvari funkcija tražnje tog proizvoda x, pa je funkcija ukupnog prihoda data sa

P=p·x.

Iz ove jednačine vidimo da je ukupan prihod funkcija dve nezavisne promenljive p i x, ali ako je funkcija tražnje za određeni proizvod poznata x=f1(p), onda 

a)  se ukupan prihod može predstaviti kao funkcija jedne promenljive, cene, kao:

P=p·f1(p)

b) ako funkcija x=f1(p) ima inverznu funkciju p=f1-1(x) tada se ukupan prihod može predstaviti kao funkcija jedne promenljive, količine proizvoda realizovanog na tržištu, kao:

P=x·f1-1(x)

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova je određena oblašću definisanosti funkcije tražnje x=f1(p)

Za funkciju graničnih prihoda važi:

a) ako je ukupan prihod  predstavljen kao funkcija cene, P=p·f1(p), onda je funkcija graničnog prihoda prvi izvod funkcije ukupnog prihoda po promenljivoj cena, tj.

b) ako je ukupan prihod  predstavljen kao funkcija količine realizovane robe na tržištu, P=x·f1-1(x), onda je funkcija graničnog prihoda prvi izvod funkcije ukupnog prihoda po promenljivoj  količina realizovane robe na tržištu, tj.

  .

Primer 5.4.1. Funkcija tražnje je x= -5p+40. Odrediti količinu realizovane robe na tržištu i cenu pri kojima se postiže maksimalan ukupan prihod i koliko on iznosi?

Rešenje:  Oblast definisanosti funkcije tražnje je određena sa:

Ukupan prihod iznosi 

P=p·x=p·(-5p+40)=-5p2+40p

Nađimo maklsimum ukupnog prihoda:

 

Pošto tačka p=4 pripada oblasti definisanosti funkcije tražnje, i kako je u njoj prvi izvod ukupnih troškova jednak nuli, a drugi izvod manji od nule, onda je to tačka u kojoj ukupan prihod ima maksimum.

Količina robe realizovane na tržištu u toj tački p=4 iznosi x=-5·4+40=20, a vrednost maksimalnog ukupnog prihoda Pmax=4·20=80.

5.5. Funkcija dobiti

Funkcija dobiti (obeležimo je sa D) je razlika funkcije ukupnog prihoda i ukupnih troškova

D=P-C.

Oblast definisanosti funkcije dobiti je određena oblašću definisanosti funkcija ukupnog prihoda i ukupnih troškova.

Interval rentabilnosti proizvodnje (x1,x2) određujemo iz uslova D=0 odnosno P=C.

Primer 5.5.1. Funkcija ukupnih troškova je C=3x2+25, a funkcija tražnje je  

Odrediti:

a) proizvodnju i cenu pri kojima se postiže maksimalna dobit i koliko ona iznosi

b) proizvodnju pri kojoj je ukupan prihod jednak ukupnim troškovima (gornju i donju granicu rentabilnosti)

Rešenje:

            Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova

 

odakle zaključujemo da xÎ(0,15) 

Izrazimo funkciju ukupnog prihoda kao funkciju jedne promenljive i to promenljive x (realizacija robe na tržištu). Važi sledeće

pa je dobit

D=P-C=-2x2+30x-(3x2+25)=-5x2+30x-25.

Odredimo maksimalnu vrednost funkcije dobiti. Važi.

 

Pošto je D’’<0 u tački x=3, i tačka x=3 pripada oblasti definisanosti funkcije tražnje, onda zaključujemo da funkcija dobiti ima maksimum za x=3.

Dakle, maksimalna dobit iznosi D(3)=-5·32+30·3-25=20. Cena u uslovima maksimalne dobiti je cena koja odgovara proizvodnji od x=3, a to je

p=-2·3+30=24

b) Da bi odredili interval rentabilnosti proizvodnje izjednačimo funkciju ukupnog prihoda sa funkcijom ukupnih troškova (ili izjednačimo dobit sa nulom D=0):

D=0 Þ -5x2+30x-25=0Þ x1=1Ù x2=5, 

pa pošto i x1 i x2 pripadaju oblasti definisanosti (0,15), zaključujemo da je interval rentabilnosti proizvodnje (1, 5), odnosno proizvodnja je rentabilna za xÎ(1, 5).



IMATE PITANJA?  KONSULTUJTE VIRTUELNOG KONSULTANTA

 

UDJITE U LABORATORIJU - IZVEDITE VIRTUELNI EKSPERIMENT

 

 

 

ZADACI, SEMINARSKI RADOVI,
RELEVANTNI LINKOVI,
DODATNA LITERATURA